中考冲刺复习压轴（纯代(函)数）系列——与交点相关的平移问题
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【试题】已知平面直角坐标系中，抛物线y=x2－(2+m)x+2m+1的顶点为P.
（1）若m=－1/2，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）记顶点P的纵坐标为h，求h的最大值；
（3）已知点A（0，1），B（3，1），当抛物线与线段AB只有一个公共点时，求m的取值范围.
【图文解析】
(1)简析：当m=－1/2时，抛物线为y=x2－3/2x.当y=0时，x2－3/2x=0，解得：x1=0，x2=3/2，所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(3/2，0).
(2)显然应先通过配方，求得顶点P的纵坐标或直接利用顶点公式得到顶点坐标（用m表示），下面分别说明（多数同学在这个地方会出问题，尤其是计算，所以这里详细分析）
法一（配方法）：
即h=(－m2+4m)/4（其中m为任意实数），显然要求出h的最大值，需再一次通过配方，得到：
h=-1/4(m-2)2+1,
因此当m=2时，h的最大值为1.
法二（直接用公式），这里略去.
(3)本题最易混淆的是：把本题理解为直线AB与抛物线只有一个公共点，注意试题中说的是与线段AB只有一个公共点.
因此本题不能用常规的“判别式△”来解题，需结合函数图象来解，下面先看动态演示.
（动画只是为了更好理解，更重要的是要从动画中体会：为何是这样的变化情况？在变化过程中你体会到了什么？动画效果与你的想象是否一致？为何需这样考虑？考试中没有动画需要自己想象，通过多观察动画，就会从中得到感受，并可训练自己的动态想象能力）
(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)
上述动画其实展示的就是解题思路，同时要明确以下几点：
一是抛物线y=x2－(2+m)x+2m+1显然是由抛物线y=x2平移得到的，是否任意平移？观察发现：抛物线的平移是有一定规律的：顶点始终在某一抛物线上运动。是什么原因？
由（2）知此抛物线的顶点坐标为
若设t=(2-m)/2，则有m=2t－2，进一步地，有：h=-1/4(m-2)2+1＝- (t－2)2+1，即：原抛物线的顶点均在抛物线h=- (t－2)2+1上.
二是抛物线抛物线y=x2－(2+m)x+2m+1始终经过定点P（2，1），而这一点恰好在线段AB上，即抛物线与线段AB永远相交于一点（即公共点P（2，1）.理由如下：
原抛物线可化简为：y=（2-x）m+(x2－2x+1)，不难得到当x=2时，y＝……=1与m的值无关，因此抛物线始终经过点（2，1）（即定点P）.
三是要求抛物线与线段AB只有一个公共点，显然只需避开两个公共点即可，如下图示，是三种特殊情况：
因此只需考虑A点和B点的纵坐标与其横坐标对应的函数值之间的大小关系.
把A（0，1）代入抛物线的解析式，得2m+1＜1,解得m＜0.此时抛物线与线段AB有两个公共点.如下图示：
把B（3，1）代入原抛物线式的解析式，得32－3(2+m)+2m+1＜1，解得m＞3.如下图示：
当顶点就是定点P（2，1）时，代入原抛物线的解析式，可得m=2.
综上所述，m<0或m>3或m=2.
【反思】认真体会第（3）小题的解题思路，其数形结合思想是解函数类问题的必备方法，理解并体会点的坐标意义与函数解析式及函数值间的关系.
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